フーリエ変換します。 高速フーリエ変換します。 離散フーリエ変換します

フーリエ変換 - 変換、実変数の特定の機能を関連付けます。 この操作では、我々は異なる音を知覚するたびに実行されます。 耳は、私たちの意識が高いだけ数学の部分の検査後にすることができます果たす自動「計算」を生産しています。 音（固体、液体又は気体の媒体中に波形に伝播する弾性媒質中の粒子の従来の振動運動が）様々な高さの音の音量レベルの連続した値の範囲に設けられているヒト形質転換構築物、器官を聞きます。 この後、脳は、すべてのおなじみの音に情報を回します。

数学的フーリエ変換します

（発光及び海洋潮流によって及び恒星や太陽サイクル）を行うことができ、数学的方法によって音波または他の振動プロセスの変換。 従って、これらの技術を用いて、関数は、海の波のように、最小限に再び最小から最大まで移動し、正弦波成分、すなわち、波状曲線のセット振動プロセスを導入することによって拡張することができます。 フーリエ変換 - 特定の周波数に対応した各正弦波の位相または振幅を記述する変換関数。 位相は、曲線の出発点であり、振幅 - その高さの。

フーリエ変換（例は写真に示されている）を形質転換科学の様々な分野で使用されている非常に強力なツールです。 いくつかの場合において、それは、光、熱又は電気エネルギーの影響の下で発生する動的プロセスを記述溶液かなり複雑な式として使用されます。 他の場合には、化学、医学、天文学の様々な実験観察を解釈する場合はtrueすることができますが、これに起因する複雑な波形の正規のコンポーネントを、定義することができます。

過去の情報

この方法を適用する最初の人は、フランスの数学ザン・バティスト・ファーでした。 その後、彼の名にちなんで名付け変換は、もともと熱伝導メカニズムを記述するために使用されました。 熱の性質を研究に従事し、彼の全人生をフーリエ変換。 彼は代数方程式の根の決意の数学的理論に多大な貢献をしました。 フーリエ変換はエコールポリテクニック、エジプト学研究所の事務局長で分析の教授だった、（彼のリーダーシップの下でマラリア沼地以上の8万平方キロメートルで排出した）トリノへの道の建設時に波紋を引き起こした皇帝のサービスでした。 しかし、このすべての行動は、数学的解析に従事科学者を停止していません。 1802年に、それは、固体中の熱の伝播を記述する方程式を導出しました。 1807年に、科学者は、「フーリエ変換」として知られるようになったこの方程式を解くための方法を発見しました。

熱伝導解析

研究者は、熱伝導メカニズムを記述するための数学的な方法を使用していました。 便利な例では、計算には困難が鉄リングによる熱エネルギーの伝達ではない、請求、一部が火の中に浸漬しました。 実験を行うためには、リングの赤い熱い部分をフーリエ変換し、細かい砂で彼を埋めます。 その後、温度測定は、その反対側で行います。 最初に、熱分布が不規則である：環の一部 - 風邪、及び他の - ホットゾーンの間には、急激な温度勾配を観察することができます。 しかし、金属表面を横切って熱分布の間に、より均一になります。 だから、すぐに、このプロセスは、正弦波の形をとります。 最初のグラフは徐々に増加し、また、円滑に余弦または正弦関数の変化の正確法を減少させます。 波が徐々に均等化し、その結果として温度がリングの表面全体に均一になります。

この方法の著者は、初期分布は、基本正弦波の数に分解することができる非常に不規則であると仮定する。 それらのそれぞれは、その位相（初期位置）とその最高温度を持つことになります。 リング整数倍の周りに回転を完了するためにバックしたがって、このような各成分の最大最小値から変化すると。 基本波と呼ばれていた期間、および2つの以上の周期の値を有する成分 - 第二のように。 例えば、最高温度を記述する数学関数は、位相または位置がフーリエ変換分布関数の変換と呼ばれます。 初期分布を与える量で、サインとコサインの行 - 科学者は、使いやすいツールを、数学的記述に困難である単一のコンポーネントをもたらしました。

分析の本質

固体物体上の熱分布の変換にこの分析を適用する、環状の形状を有する、数学は、正弦波成分の増加期間は、その急速な減衰をもたらすと推論しました。 これは明らかに、メインと第二高調波の上に見られています。 最終温度は、単一パスで二回の最大値と最小値に到達し、そして最初の - 一度だけ。 なお、第2高調波に熱が移動した距離がコアの半分であることが判明しました。 また、後半の勾配は、第一よりも急峻であろう。 より強い熱流束が未亡人最小距離を通過するので、したがって、これは、時間の関数として、メインの4倍速く高調波減衰します。 以下のプロセスではさらに速くなります。 数学者は、この方法は、私たちは、時間と温度の初期分布の過程を計算することを可能にすると信じていました。

同時代を呼び出し

フーリエ変換アルゴリズムを、一度に数学の理論的基礎に課題となっています。 19世紀初頭では、ラグランジュ、ラプラス、ポアソン、ルジャンドルとビオ含むほとんどの著名な科学者は、初期分布の温度は、基本波と、より高い周波数の形で成分に分解されていることを彼の主張を受け入れませんでした。 しかし、科学アカデミーは数学者を得られた結果を無視し、法律の熱伝導の理論だけでなく、物理的な実験との比較を行うために彼の賞を受賞できませんでした。 フーリエアプローチでは、主異議は、不連続関数が連続しているいくつかの正弦関数の和で表されるという事実です。 すべての後、彼らはまっすぐに破裂し、曲線を記述する。 現代の科学者は、このような二次、線形、正弦波または出展者として、不連続な関数が連続の組み合わせによって説明このような状況に遭遇したことがなかったです。 数学者が彼の主張に正しかったことをイベントでは、三角関数の無限級数の和は、正確な速度に制限する必要があります。 そのような主張は不条理なように見えたしながら。 ただし、一部の研究者（例えばクロードナビエ、ソフィZhermen）の疑問にもかかわらず、研究の範囲を拡大し、熱分布の解析からそれらをもたらしました。 数学は、一方で、いくつかの正弦関数の和が破裂の正確な表現に縮小されているかどうかの質問を受け続けました。

200年の歴史

この理論は、2世紀にわたって進化してきました、今日はそれが最終的に形成されます。 空間的または時間的な機能の助けを借りて、周波数、位相及び振幅を有する正弦波成分に分解されます。 この変換は、二つの異なる数学的手法によって得られます。 それは離散個々の変更の複数で表現される場合には - ソースが連続関数であり、そして第二のときにそれらの最初のケースで使用されています。 発現は離散的な間隔で定義された値から得られる場合、それはいくつかの個別の正弦波の周波数表現に分割することができる - 最低から、次に倍、三倍、等の基本上記。 この量は、呼び出された フーリエ級数。 最初の式は、各実数の値を設定した場合、それは、複数の正弦波の全ての可能な周波数に分けることができます。 これは、フーリエ変換の積分と呼ばれ、決定が不可欠な機能の転換を意味しています。 振幅および周波数：かかわらず、各周波数に対して、変換を得るための方法の2つの数値を示すべきです。 これらの値は、単一のように表現される 複素数。 計算を実行するために一緒にフーリエ変換と式複素変数の理論は、様々な電気回路の設計を可能にし、機械的振動の解析、波動伝播機構と他の研究。

フーリエ変換今日

今日では、このプロセスの研究は、基本的には、心に戻ってそれを変換するために、関数からの移行のための効果的な方法を見つけることに帰着します。 このソリューションは、直接および逆フーリエ変換と呼ばれています。 それは何を意味するのでしょうか？ するためには 、積分を決定 し、直接フーリエ変換を行い、あなたは数学的手法を使用することができますが、あなたは、分析することができます。 それらが実際に使用されているとき、いくつかの困難があるという事実にもかかわらず、ほとんどの積分は、すでに発見されていると数学ハンドブックに入りました。 数値法の助けが式を計算することができますと、の形状は実験データ、その積分の表では不足している、と彼らは、分析の形で想像するのが難しい機能に基づいています。

そのような変換は非常に退屈されているコンピュータ工学計算の出現の前に、彼らは、波動関数を記述する点の数に依存する演算の多数の手動実行を必要とします。 今日の決済を容易にするために、新たに実装することができ、特別なプログラムがある 分析方法は。 だから、1965年に、Dzheyms KULIとDzhon Tyukiは「高速フーリエ変換」として知られるようになったソフトウェアを作成しました。 これは、曲線の分析における乗算の回数を減らすことによって、計算の時間を節約できます。 「高速フーリエ変換」方法は、均一なサンプル値の多数に曲線を分割に基づいています。 従って、乗算の数は、ポイントの数を減らす同じで半減します。

フーリエ変換を適用します

このプロセスは、様々な分野で使用されている：で 数論、 物理学、信号処理、組合せ論、確率論、暗号化、統計、海洋学、光学、音響、及び他の形状。 その使用のための豊富な可能性が呼ばれる便利な機能の数に基づいて、「フーリエ変換の特性。」 私たちはそれらを調べてみましょう。

1.変換関数は線形演算子であり、対応する正規化は、一体です。 このプロパティは、パーセバルの定理として知られている、または一般的な場合には、定理Plansherelja又はPontrjagin二元論れます。

2.変換は可逆的です。 また、逆の結果が直接アドレッシングとほぼ同様の形状です。

3.正弦波の基本式は、独自の差別化機能です。 これは、このような表現が変化することを意味する 線形方程式を 従来の代数的に一定の係数を有します。

4.「畳み込み」定理によると、プロセスは基本乗算で複雑な操作を行います。

離散フーリエ変換5.すぐに「速い」方法を使用しているコンピュータ上で設計することができます。

フーリエ変換のバリエーション変換

1.はほとんどの場合、この用語は、特定の角周波数と振幅を持つ複素指数表現の和として任意の二次積分の式を提供し、継続的な転換を意味するために使用されます。 この種は、異なる定数係数とすることができるいくつかの異なる形態を有しています。 連続法は、数学ハンドブックに見出すことができる変換テーブルを備えています。 一般化された場合は、このプロセスは、所望の有効電力を上昇させることができる分数変換です。

2.連続法は、いずれかの定義されたフーリエ級数の以前の技術の一般化である 周期関数 限られた領域に存在し、正弦波のシリーズとしてそれらを表すまたは表現。

3.離散フーリエ変換します。 この方法は、科学技術計算およびデジタル信号処理のための計算に使用されます。 計算のこのタイプを実行するために個々の点、周期的または限定された領域の代わりに、連続的なフーリエ積分の離散集合に決定する機能を有する必要があります。 この場合の信号変換は、正弦波の和として表されます。 「速い」方法を使用すると、すべての実用的な目的のためにデジタルソリューションを使用することができます。

4.ウィンドウのフーリエ変換は、古典的な方法の一般化した図です。 この変数の存在の全範囲に取り込まれる信号のスペクトルが使用される一般的なソリューションとは異なり、ここでは特に重要である元の変数（時間）を維持しながら、ローカル周波数分布です。

5. 2次元フーリエ変換します。 この方法は、データの2次元配列で動作するように使用されます。 他に - そのような場合には、変換は、1つの方向に行われ、。

結論

今日では、フーリエ法は、しっかりと科学の様々な分野で定着しています。 例えば、1962年には、X線回折と一緒にフーリエ解析を用いて、DNA二重らせんの形状を開きました。 最近の結晶がフィルムに記録された回折によって得られた画像、その結果、DNAの繊維に焦点を当てました。 この絵は、フーリエ変換、この結晶構造に変換を使用することによって振幅の値についての情報を与えました。 類似の化学構造の分析で得られたカードとDNA回折カードを比較することによって得られた位相データ。 本来の機能 - 結果として、生物学者は結晶構造を回復しました。

フーリエ変換は宇宙、半導体材料やプラズマ、マイクロ波音響学、海洋学、レーダー、地震学や検診の物理学の研究に大きな役割を果たして変換します。