ベース、サイドとフル：ピラミッドの面積を計算する方法は？

数学の学生で受験の準備で代数と幾何学の知識を体系化する必要があります。 私は、このようなピラミッドの面積を計算する方法として、すべての既知の情報を結合したいと思います。 また、底部及び側部から出発して全表面積まで直面しています。 側は、彼らが三角形いるような状況は、明らかである直面している場合、ベースは常に異なっています。

ときピラミッドの底面積であることをどのように？

それは、n角形の任意の三角形は全く任意の数字とすることができます。 そして、このベースは、角度の数の違いを除いて、正しいか正しくない数字かもしれません。 試験の学生タスクの関心ではベースで、正しい数字を持つジョブだけを見つけました。 したがって、我々はそれについてお話します。

正三角形

それは正三角形です。 すべての当事者が等しく、文字「A」で指定されている1つ。 この場合には、ピラミッドの底面積は次式で計算されます。

S ^{=（2×√3）/} 4。

広場

その面積を計算する式は最も単純であり、「A」であり、 - 側が再び。

そして、S = ^2。

任意の正n角形

多角形の辺に同じ指定。 角度の数についてn個のラテン文字を使用していました。

S =（N * ^2）/（4 *のTG（180°/ N）） 。

横方向および全表面の面積の計算に入力するには？

基地図は正しいので、次にピラミッドの全ての面は等しいです。 側縁が等しいので、その各々は、二等辺三角形です。 次いで、角錐の側面の面積を計算するために同一の単項式の和からなる式を必要とします。 用語の数は、ベース側部の量によって決定されます。

二等辺三角形の領域は、ベース製品の半分は高さを乗じた式によって計算されます。 apothemと呼ばれるピラミッドのこの高さ。 その名称 - "A"。 次のように側面の面積に対する一般式は次のとおりです。

S =½P * A、P - ピラミッドの基部の外周。

そこをベース側に知られていない時間があるが、側縁部が平坦と頂点（α）の角度（A）です。 そして、それはピラミッドの横方向の面積を計算するには、次の式を使用して依存しています：

S = N / ^2〜2 *罪α。

タスク№1

コンディション。 そのベースである場合、ピラミッドの総面積を見つける 正三角形 4センチメートルの側面とその値√3apothem CMを有します。

決断。 これは、ベースの周囲の計算を開始する必要があります。 これは、次に正三角形、P = 3 * 4 = 12センチapothem知られているように、一つは直ちに全体側面:.半* 12 ^{*√3=6√3cm 2}の面積を計算することができるからです^。

ベースの三角形を得るために領域（4 ^2×√3）/ 4 ^{=4√3cm 2}の値です^。

^{6√3+4√3=10√3cm 2で} ：全領域を決定するために2つの結果の値を倍にする必要があり^ます。

回答。 ^{10√3cm 2です。}

問題点№2

コンディション。 通常の四角錐があります。 16ミリメートル - ベースの長さは7ミリメートル、横エッジに等しいです。 あなたは、その表面積を知っておく必要があります。

決断。 多面体以来 - 矩形正しい、そのベースに正方形です。 ベース領域を聴覚と側面は四角錐をカウントすることができます。 正方形のための式は上記で与えられています。 そして私は、三角形のすべての側面を知っています。 そのため、あなたはそれらの領域を計算するためヘロンの公式を使用することができます。

最初の計算は単純であり、この番号につながる：49ミリメートル^2。 第2の値を計算する必要半周：（7 + 16 * 2）：2 = 19.5ミリメートルです。 今、私たちは、二等辺三角形の面積を計算することができます：√（19.5 *（19,5-7） *（19,5-16）を^{2）=√2985,9375=} 54644ミリメートル^2。 そこ4つの三角形があり、最終的な数字を計算するときに4を掛けする必要があります。

得られ：49 + 4 * 54.644 = ^267.576平方ミリメートル^。

回答。 ^2mmの267.576所望の値。

タスク№3

コンディション。 通常の四角錐で面積を計算することが必要です。 これは、正方形の辺が知られている - 5センチ、高さ4 - センチ。

決断。 境界線とapothemの製品に数式を使用する最も簡単な方法。 最初の値は、単純に発見されました。 少し難しく秒。

私たちは、ピタゴラスの定理を覚えて検討する必要があります 右の三角形を。 これは斜辺であり、ピラミッドとapothemの高さで形成されています。 多面体の高さは、それの中央に入るように、第2の脚部は、正方形の半分側です。

好まapothem（直角三角形の斜辺）は（2月² + 4 ^2）= 5（CM）√に等しいです。

半*（4 * 6）* 5 + 6 ² = 96（CM ^2）：今では所望の値を計算することが可能です^。

回答。 96センチメートル^2。

問題の№4

コンディション。 ダナ正六ピラミッド。 61ミリメートル - 22ミリメートル、横方向縁部に等しく、その基部の両側。 この多面体の側面の面積は何ですか？

決断。 タスク№2で説明したようにその中の推論は同じです。 唯一のピラミッドがベースで方形にそこに与えられた、と今では六角形です。

最初のステップは、上記式^{（6 * 22 2）/（}の底面積によって算出される4 *のTG（180°/ 6））= 726 ^{/（tg30º）=726√3cm 2です。}

今、あなたは側面である二等辺三角形の半周囲を見つける必要があります。 （22 + 61 * 2）:. = 72センチメートル2は、三角形の面積を計算し、その後、6倍とベースが判明つによってそれを乗算するヘロンの公式上に残ります。

ヘロンの公式に計算：√（72 *（72から22）*（72から^{61）2）=√435600=} 660センチメートル^2。 660 * 6 = 3960センチメートル^2：計算は、横方向表面積を提供すること^。 5217,47≈5217センチ^2：それは全面を見つけるためにそれらを追加するために残っています^。

回答。 グラウンド- 726√3cm ²の^、側面- 3960センチメートル^2、全体の面積- 5217センチメートル^2。