三角形の角度の合計。 三角形の角度の合計の定理

三角形は、三辺（3つの角度）を有する多角形です。 ほとんどの場合、一部は反対の頂点を表す大文字を、対応する小文字で表します。 この記事では、三角形の角度の和に等しいかを定義し、幾何学的形状、定理、これらのタイプを見てみましょう。

タイプ最大角度

3つの頂点を持つ多角形の次の種類：

• すべての角度が鋭くされた、鋭角;
• 側は、それを形成する一つの直角を有する矩形、脚と呼ばれ、直角に対向して配置されている側を斜辺と呼ばれています。
• 鈍角1時に 角度が鈍角です 。
• その第3の2辺が等しく、それらが横方向と呼ばれ、二等辺、 - 塩基と三角形、
• 等辺3つの等しい辺を有します。

プロパティ

三角形の各タイプの特性である基本的なプロパティを割り当てます。

• 最大側と反対常に大きな角度、およびその逆です。
• 等しい等しい最大パーティ対角、及びその逆です。
• 任意の三角形で2つの鋭角を持っています。
• 任意の内角ない隣接より外側の角度より大きい。
• 任意の二つの角度の合計は、常に180度未満です。
• 外角は彼とmezhuyutされていない他の二つの角の和に等しいです。

三角形の角度の合計の定理

定理はあなたがユークリッド平面内に配置された幾何学的形状、のすべてのコーナーを追加した場合、その後、それらの和が180度になると述べています。 のは、この定理を証明してみましょう。

我々は頂点KMNと任意の三角形を持ってみましょう。 Mの上部に保持する ラインに直接平行 KNを（たとえこのラインはユークリッド呼ばれます）。 点K及びAがラインMNの異なる側から配置されるように、それは、A点に留意すべきです。 私たちは、インテリアのように、平行で直接CNおよびMA、と一緒にMNに交差形成するために、横にある、AMSおよびMUF、同じ角度を得ます。 このことから、M及びNの頂点に位置する三角形の角度の合計は、CMA角の大きさに等しいことになります。 すべての3つの角度は、KMAとMCSの角度の和に等しい和から成ります。 データは、交差における内角相対両面平行線CL及びCM MAであるので、それらの和が180度です。 これは定理を証明しています。

結果

上記の定理上記のうち、以下の推論を意味：すべての三角形は2つの鋭角を持っています。 これを証明するために、私たちはこの幾何学図形が一つだけ鋭角を持っていると仮定しましょう。 また、コーナーのどれもが鮮明ではないではないと仮定することができます。 この場合、に等しいか又は90度より大きい大きされた少なくとも2つの角度でなければなりません。 しかし、その後の角度の和が180度以上です。 しかし、これは三角形の定理合計角度に応じたように、することができない180°に等しくない - それ以上、何も少ないです。 それは証明されていたものです。

プロパティの外側のコーナー

外部にある三角形の角度の合計は何ですか？ この質問への答えは、2つの方法のいずれかを適用することにより得ることができます。 最初は、あなたが、3つの角度で各頂点に一つを取っている角度の合計を、見つける必要があるということです。 第二は、あなたが頂点に6つの角度の合計を見つける必要があることを意味します。 第一の実施形態の冒頭に対処するため。 両者のそれぞれの上部に - したがって、三角形は、6つの外側の角を含んでいます。 それらが垂直であるため、各対は、それら自身の間で等しい角度を有します。

∟1=∟4、∟2=∟5、∟3=∟6。

また、三角形の外角は彼と一緒にmezhuyutsyaない2つのインテリア、の合計に等しいことが知られています。 そのため、

∟1=∟A+∟S、∟2=∟A+∟V、∟3=∟V+∟S。

このことから、各頂点の近くに一つずつ取られ外角の和が等しくなることを表示されます。

∟1+∟2+∟3=∟A+ +∟S∟A∟V+ + +∟V∟S= 2×（∟A+∟V∟S+）。

角度の合計が180度に等しいという事実を考えると、それは∟A+∟V∟S= + 180°と主張することができます。 これは∟1+∟2+∟3= 2×180°= 360°であることを意味します。 二番目のオプションを使用する場合は、6つの角度の合計は二倍に対応して大きくなります。 三角形の角度の合計IE外になります。

∟1+∟2+∟3+∟4+∟5+∟6= 2×（∟1+∟2+∟2）= 720°。

直角三角形

直角三角形の角度の合計に等しい何、島はありますか？ 答えは、三角形の角度は180度まで追加することを述べて定理から、再び、です。 音当社の主張は次のよう（プロパティ）：シャープ角度が90度まで追加直角三角形インチ 私たちは、その信憑性を証明します。 与えられた三角形KMN、∟Nは= 90°でありましょう。 その∟K∟M= + 90°を証明する必要があります。

したがって、角度∟K+∟M∟N+ = 180°の和に定理に従います。 この状態では、∟N= 90°と言われています。 それは∟K∟M+ + 90°= 180°が判明します。 90°= 90° - それは∟K∟M+ = 180°です。 それは我々が証明するべきものです。

直角三角形の上記の特性に加えて、あなたは、これらを追加することができます。

• 鋭い足に対して位置する角度。
• 足のいずれよりも大きい三角形の斜辺。
• 斜辺よりも脚の合計。
• 30度の角度とは反対に位置する三角形の脚は、斜辺の半分が、それは、その半分に等しいです。

幾何学的形状の別の特性としてピタゴラスの定理を区別することができます。 彼女は、90度（長方形）の角に三角形で、脚の二乗和が斜辺の二乗に等しいと主張します。

二等辺三角形の角度の合計

以前我々は、二等辺三角形は、2つの等しい辺を含む、3つの頂点を有する多角形であることを述べました。 このプロパティは、幾何学図形が知られている：そのベースにおける角度が等しいです。 私たちはこれを証明してみましょう。

そのベース - 二等辺三角形、SCである三角形KMNを取ります。 私たちはその∟K=∟Nを証明するために必要とされています。 だから、私たちはそのMAを想定してみましょう - KMNは、私たちの三角形の二等分線です。 平等の最初の兆候とICAの三角形は三角形MNAです。 この二等分線 - MAのですなわち、仮説によって、CM = NM、MAは、共通の側であることを、∟1=∟2与えられます。 二つの三角形の平等を使用して、一つは∟K=∟Nことを主張することができます。 したがって、定理が証明されました。

しかし、我々は、三角形（二等辺三角形）の角度の合計が何であるか、に興味があります。 この点で、それは、その機能を持っていないので、我々は先に述べた定理から開始します。 つまり、我々は∟K+∟M∟N+ = 180°、または（∟K=∟Nなど）2×∟K∟M+ = 180°と言うことができます。 三角形の角度の合計の定理は、以前に証明されたように、これは、プロパティを証明することはありません。

三角形の角の性質と考え除き、そのような重要な書類もあります。

• で正三角形の高さ、ベースに低下していた、同時に等しい辺の間の角度の中央二等分線である対称軸の基部の、
• 幾何学的図形の側に保持されメディアン（二等分線、高度）は、等しいです。

正三角形

また、右と呼ばれ、すべての当事者に等しい三角形、です。 そのためにも等しいと角度。 それらのそれぞれは60度です。 私たちは、このプロパティを証明してみましょう。

私たちは、三角形KMNを持っていると仮定しましょう。 私たちは、KM = HM = KHことを知っています。 これは正三角形∟K=∟M=∟Nに基部に位置角度の性質に応じて、ということを意味します。 三角形の定理∟K+∟M∟N+ = 180°、その後、X 3 = 180°∟K又は∟K= 60°= 60°∟M、∟N= 60°の角度の合計に応じて、以来。 したがって、アサーションが証明されました。 上記定理に基づいて上記証拠から明らかなように、角度の和 正三角形の、 任意の他の三角形の角度の合計としては、180度です。 ここでも、この定理を証明する必要はありません。

正三角形の特性いくつかのプロパティがまだあります。

• メジアン二等分線の幾何学図形の高同一、そしてその長さは、（X√3）のように計算される：2。
• この多角形が円に外接する場合、半径は（X√3）に等しくなります。3。
• 円正三角形に内接する場合は、その半径（√3x）は次のようになります。6。
• 幾何学的図形の面積は、以下の式によって計算される：（A2 X√3）：4。

鈍角三角形

定義により、 鈍角三角形は、 その角の一つが90度から180度の間です。 しかし、シャープな幾何学的形状の他の二つの角度が、彼らが90度を超えていないと結論付けることができるという事実を与えられました。 したがって、三角形の定理の角度の合計は、鈍角三角形で角の和を計算する際に動作します。 そこで、我々は安全に三角形の鈍角の合計が180度である上記の定理に基づいて、言うことができます。 ここでも、この定理は、再証明をする必要はありません。