飛行機の方程式：どのように構成するか？ 平面方程式のタイプ

宇宙では、平面は異なる方法（1つの点とベクトル、2つの点と1つのベクトル、3つの点など）で定義することができます。 これは、平面の方程式が異なるタイプを持つことができることを念頭に置いています。 また、特定の条件下では、平面は平行、垂直、交差などになります。 この記事ではこれについて説明します。 我々は平面の一般的な方程式を作る方法を学ぶだけでなく、

式の正規形

直交座標系XYZを有する空間R ₃があるとする。 初期点Oから解放されるベクトルαを定義します。ベクトルαの終わりを通って、それに垂直な平面Πを描きます。

Πは任意の点Q =（x、y、z）を表す。 点Qの半径ベクトルを文字pで書く。 この場合、ベクトルαの長さはp =IαIであり、ρ=（cosα、cosβ、cosγ）である。

これは、ベクトルαのように、側面に向けられた単位ベクトルです。 Α、βおよびγは、ベクトルƲと空間x、y、zの各軸の正の方向との間に形成される角度である。 ある点Q∈Pのベクトルontoへの射影は、p：（p、Ʋ）= p（p≧0）に等しい定数です。

この式は、p = 0のときに意味があります。 この場合の唯一の平面Pは、原点である点O（α= 0）と交差し、点Oから放出される単位ベクトルwillは、その方向にかかわらずΠに垂直であり、これはベクトルƲが記号の正確さ。 前の方程式は、ベクトル形式で表現された我々の平面IIの方程式です。 しかし、このような彼の外観の座標で：

Pは0以上です。私たちは、通常の形の空間における平面の方程式を見出しました。

一般式

座標の方程式に0でない任意の数を乗算すると、同じ平面を決定する与えられた方程式に相当する方程式が得られます。 それは次のようになります：

ここで、A、B、Cは同時に非ゼロの数である。 この方程式は、一般平面の方程式と呼ばれる。

飛行機の方程式。 特別なケース

一般的な形の方程式は、追加の条件の存在下で変更することができます。 それらのいくつかを考えてみましょう。

係数Aが0であるとします。これは、与えられた平面が与えられた軸Oxに平行であることを意味します。 この場合、方程式の形式は次のように変わります：Boo + Cz + D = 0。

同様に、方程式の形式は次の条件で変化します：

• まず、B = 0の場合、方程式はAx + Cz + D = 0に変わり、これはOy軸との平行性の証拠になります。
• 第2に、C = 0の場合、方程式はAx + Boo + D = 0に変換され、これは与えられた軸Ozに対する平行性を表す。
• 第3に、D = 0の場合、方程式はAx + Boo + Cz = 0のようになり、平面がO（原点）と交差することを意味します。
• 第4に、A = B = 0であれば、方程式はCz + D = 0に変わり、Oxyと平行になる。
• 第5に、B = C = 0の場合、方程式はAx + D = 0となり、これはOyzへの平面が平行であることを意味する。
• 第6に、A = C = 0の場合、方程式はBoo + D = 0の形式を取ります。つまり、並列性をOxzに報告します。

セグメント内の方程式のタイプ

数A、B、C、Dが0と異なる場合には、式（0）の形式は以下のようになる。

X / a + y / b + z / c = 1であり、

ここで、a = -D / A、b = -D / B、c = -D / Cである。

その結果、セグメント内の平面の方程式が得られます。 この平面は座標（a、0,0）、Oy-（0、b、0）、およびOz-（0,0、c）の点でOx軸と交差することに注意する必要があります。

方程式x / a + y / b + z / c = 1を考慮すると、与えられた座標系に対する平面の配置を視覚的に表すことは困難ではない。

法線ベクトルの座標

平面Πに対する法線ベクトルnは、与えられた平面の一般的な方程式の係数、すなわちn（A、B、C）である座標を有する。

法線nの座標を決定するには、与えられた平面の一般的な方程式を知るだけで十分です。

一般式と同様に、x / a + y / b + z / c = 1という形式のセグメント内の方程式を使用して、与えられた平面の任意の法線ベクトルの座標を書くことができる：（1 / a + 1 / b + 1 / C）。

法線ベクトルは様々なタスクを解決するのに役立つことは注目に値する。 最も一般的な問題は、面の垂直性または平行性を証明する問題、平面間の角度または面と線の間の角度を見つける問題です。

点の座標と法線ベクトルによる平面方程式の形式

与えられた平面に垂直な非ゼロベクトルnは、与えられた平面に対して法線（法線）と呼ばれます。

座標空間（直交座標系）において、Oxyzが与えられたとする。

• 座標（x、y、z ）の点M;
• ゼロベクトルは、n = A * i + B * j + C * kである。

法線nに垂直な点M passesを通る平面の方程式を構成する必要があります。

空間では任意の点を選択し、M（xy、z）で表す。 任意の点M（x、y、z）の半径ベクトルをr = x * i + y * j + z * kとし、点M（x、y、z）の半径ベクトル - * J +zₒ* k。 ベクトルMₒMがベクトルnに垂直である場合、点Mは所与の平面に属する。 スカラ積で直交性条件を書き留めましょう。

[M、M、n] = 0。

MₒM = r-r Sinceであるから、平面のベクトル方程式は次のようになる：

[R - r、n] = 0である。

この方程式は別の形式を持つことができます。 これを行うために、我々はスカラー積の性質を使い、方程式の左辺を変換する。 [R - r、n] = [r、n] - [r、n]である。 [r、n] - c = 0または[r、n] = cで、平面に属する任意の点の半径ベクトルの法線ベクトルに射影の定数を表す次の式が得られます。

ここで、私たちの平面のベクトル方程式のレコードの座標形式を得ることができます。r - rₒ=（x - xₒ）* i +（y - yₒ）* j +（z - zₒ）* k N = A * i + B * j + C * kとすると、

通常のnに垂直な点を通る方程式があることがわかります。

A *（x-x）+ B *（y-y）C *（z-z）= 0である。

2点の座標とベクトルである平面の方程式の形式は、共線平面

ベクトルa（a '、a "、a）と同様に、2つの任意の点M'（x '、y'、z '）とM"（x "、y"、z "）を定義する。

ここで、利用可能な点M 'とM "と、与えられたベクトルaに平行な座標（x、y、z）を有する任意の点Mを通過する、与えられた平面の方程式を構成することができる。

さらに、ベクトルM'M = {x-x '; y-y'; zz '}およびM "M = {x" -x'; y "-y '; z" -z'}はベクトルと同一平面でなければならないA =（a '、a "、a）であり、これは（M'M、M" M、a）= 0であることを意味する。

だから、私たちの空間方程式は次のようになります：

3点を交差する平面方程式の形式

同じ行に属さない3つの点（x '、y'、z '）、（x "、y"、z "）、（x‴、y‴、z‴）があるとします。 与えられた3点を通る平面の方程式を書く必要があります。 ジオメトリの理論は、そのような平面は存在すると主張しますが、それはユニークで反復不可能です。 この平面は点（x '、y'、z '）と交差するので、その式の形式は次のようになります。

ここで、A、B、Cは両方とも非ゼロである。 また、与えられた平面は2つ以上の点：（x "、y"、z "）と（x‴、y‴、z‴）と交差する。 これに関連して、そのような条件が満たされなければならない。

今、未知数u、v、wを持つ 等式の 系 （線形） を形成することができます。

我々の場合、x、yまたはzは、式（1）を満たす任意の点である。 式（1）および式（2）および（3）からのシステムを考慮すると、上の図に示す式のシステムは、N（A、B、C）のベクトルを満たします。 それがこのシステムの行列式がゼロである理由です。

得られた式（1）は、平面の方程式です。 3ポイント後、正確に移動し、チェックするのは簡単です。 これを行うには、最初の行の要素によって行列式を拡張する必要があります。 行列式の既存の性質から、我々の平面は最初に与えられた3つの点（x '、y'、z '）、（x "、y"、z "）、（x‴、y‴、z‴） つまり、我々は私たちの前に設定された課題を解決しました。

平面間の両側角

2面コーナーは、1つの直線から発する2つのハーフプレーンによって形成される空間幾何学的図形を表す。 換言すれば、これはこれらの半平面に限定された空間の一部である。

次の方程式を持つ2つの平面があるとします。

私たちは、ベクトルN =（A、B、C）とN1 =（¹¹、¹¹、͹）が与えられた平面に沿って垂直であることを知っています。 これに関連して、ベクトルNとN1との間の角度φは、これらの平面の間にある角度（両側）に等しい。 スカラ積は次の形をしています。

NN1 = | N || N1 |cosφ、

正確には

Cosφ= NN1 / | N || N1 | =（А1+ВВ¹+СС¹）/（√（²²+²²+²²））*（√（¹¹）²+（¹¹）²+（С¹）²））。

0≦φ≦πを考慮すれば十分である。

実際、交差する2つの平面は2つの角度（両側）：φ1とφ2を形成します。 それらの和はπ（φ1 +φ2 =π）に等しい。 それらのコサインについては、それらの絶対値は等しいが、符号が異なる、すなわち、φ1 = -cosφ2である。 式（0）のA、B、Cをそれぞれ-A、-B、-Cのように置き換えると、この同じ平面が唯一のφ= N || N ¹ | π-φに置き換えられます。

垂直面の方程式

垂直は、角度が90度である平面です。 上に概説した材料を使用して、他の平面に垂直な平面の方程式を見つけることができます。 Ax + Boo + Cz + D = 0とA¹x+Bуy+ Czz + D = 0の2つのプレーンがあるとします。 cosφ= 0の場合、それらは垂直になると言うことができます。 これはNN1 = AA + + BB1 + CC1 = 0であることを意味します。

平行平面の方程式

パラレルは、共通点を含まない2つのプレーンです。

面の平行度の条件（それらの方程式は前の段落と同じです）は、それらに垂直なベクトルNとN1が同一直線上にあることです。 これは、次の比例条件が満たされていることを意味します。

A / A1 = B / B1 = C / C1である。

比例条件を拡張すると、A / A1 = B / B1 = C / C1 = DD1となり、

これは、これらの面が一致していることを示します。 つまり、方程式Ax + Boo + Cz + D = 0とA¹x+Bуy+ Czz + D1 = 0は1つの平面を表します。

ポイントから飛行機までの距離

方程式（0）で与えられる平面Πを仮定します。 座標（xₒ、yₒ、zₒ）= Q の点から距離を求める必要があります。 これを行うには、平面Πの方程式を正規形に縮小する必要があります。

（Ρ、v）= p（p≧0）である。

この場合、ρ（x、y、z）はII上の点Qの半径ベクトルであり、pはゼロ点から解放された垂線Pの長さであり、vはaの方向に位置する単位ベクトルである。

Πに属する任意の点Q =（x、y、z）の半径ベクトルと、与えられた点Q ₀ =（x、y、z）の半径ベクトルの差ρ - ρは、 Vは距離dに等しく、Q ₀ =（x、y、z）からΠ：

D = |（ρ-ρ0、v）|、ただし

（ρ0、v）=（ρ0、v） - （ρ0、v）=ρ - （ρ0、v）である。

だからそれは判明した、

D = |（ρ0、v）-p |となる。

ここで、Q ₀から平面IIまでの距離dを計算するためには、平面の方程式の正規形を使用し、それをpの左側に転送し、x、y、zの代わりに（xp、yp、zp）を代入する必要があります。

したがって、結果として得られる式の絶対値、すなわち所望のdを見つける。

パラメータの言語を使用すると、わかりやすくなります。

D = |Axₒ+Vuₒ+Czₒ| /√（A2 + B2 + C2）。

与えられた点Q ₀が原点のように平面IIの他の側にある場合、ベクトルρ-ρ0とνとの間に 鈍角 が存在するので、

D = - （ρ-ρ0、v）=（ρ0、v）-p> 0である。

点Q ₀が座標の原点と共にIIの同じ側に位置する場合、作成される角度は鋭く、すなわち、

D =（ρ-ρ0、v）=ρ - （ρ0、v）> 0である。

その結果、第1の場合（ρ0、v）> pであり、第2の場合（ρ0、v）

接平面とその方程式

接線点M0でサーフェスに接するサーフェスは、サーフェス上のこの点を通って描かれた曲線に対するすべての可能な接線を含むサーフェスです。

面方程式F（x、y、z）= 0のこの形式では、接点M0（x、y、z0）での接平面の方程式は次のようになります。

Fx（ _x 0、y 0、z 0）（x 0、y 0、z 0）= F x（x 0、y 0、z 0）

表面を明示的な形式z = f（x、y）で定義すると、接平面は次の方程式で記述されます：

Z - z0 = f（x0、y0）（x - x0）+ f（x0、y0）（y - y0）。

2つの飛行機の交差点

3次元空間では座標系（矩形）Oxyzが配置され、交差して一致しない2つの平面П 'とП "が与えられる。 直交座標系の任意の平面は一般的な方程式によって定義されるので、方程式A'x + B'y + C'z + D'= 0およびA''x + B'y + C "z + D" = 0。 この場合、平面II 'の法線n'（A '、B'、C '）と平面IIの法線n "（A"、B "、C"）がある。 我々の飛行機は平行ではなく、一致しないので、これらのベクトルは同一線上にありません。 数学の言語を使って、n '≠n "↔（A'、B '、C'）≠（λ* A"、λ* B "、λ* C"）、λεRのように書くことができます。 П 'とП "の交点にある線をaとすると、a =ρ'∩П"となる。

Aは（共通）面II 'とII "のすべての点の集合からなる線である。 これは、線aに属する任意の点の座標は、方程式A'x + B'y + C'z + D'= 0およびA''x + B'y + C'z + D'' = 0を同時に満たさなければならないことを意味する。 したがって、点の座標は、次の方程式系の特定の解になります。

その結果、この方程式の解（共通）は、P 'とP "の交点として作用する直線の各点の座標を決定し、空間の座標系Oxyz（矩形）の直線aを決定することが分かります。