クラメルの公式とその応用

クラメルの公式は-解決するための正確な方法の一つである 線形代数方程式（スラウ）のシステムを。 システム行列の決定の使用、ならびに定理の証明に制約の一部に、その精度。

例えばに属する係数を持つ線形代数方程式のシステムは、複数のR - 未知数X1の実数、X2、...、XNは式の集合です

AI2 X1 + X2 + AI2 ... AIN XN =（1）、...、M、2、I = 1してBI

どこAIJ、バイ - 実数。 これらの式は、それぞれ呼ばれ 、線形方程式、 未知数の係数は、バイ- -方程式の独立した係数AIJ。

（1）の溶液を、未知数X1のためのシステムにどの置換、X2において、X°=（X1°、X2°、...、XN°）n次元ベクトルと呼ば...、XN、システムのラインの各々は、最良の方程式となります。

それが空集合の解集合と一致する場合、システムは、それが少なくとも一つの解決策を持っている場合、一貫したと呼ばれ、矛盾しています。

基本的に、システム内の未知数と方程式の同じ数を意味し、クラマーの方法を使用して、線型方程式系に対する解を見つけるために、マトリックスシステムは正方形でなければならないことを忘れてはなりません。

だから、クラマーのメソッドを使用するには、少なくとも知っている必要があります 行列が何であるかを 、線形代数方程式のシステム、およびそれが発行されます。 そして第二に、計算の行列と、自身のスキルの決定と呼ばれているものを理解します。

私たちはこの知識は、あなたが持っていると仮定しよう。 ワンダフル！ 次に、あなただけのクレーマーの方法を決定する公式を暗記しなければなりません。 暗記を簡素化するために以下の表記を使用します。

• DET - システムのマトリックスの主要な決定因子;

• DETIは - 要素の線形代数方程式の右辺である列ベクトルに行列のi番目の列を交換することによって、システムの一次マトリックスから得られた行列の行列式です。

• N - システム内の未知数と方程式の数。

次いでクラメルの公式計算i番目の成分のXI（I = 1、... n）はn次元ベクトルxは以下のように書くことができます。

XI = DETI /デット、（2）。

この場合には、ゼロから厳密に異なるデット。

それは共同でゼロにシステムの主な決定の不等式条件によって提供されるシステムの解の一意。 （XI）の合計が、乗あればそうでない場合は、厳密に正、そしてSLAE正方行列は実行不可能です。 これはDETIゼロ以外のときに、少なくとも一つの特定で起こり得ます。

例1。 クラマーの式を用いて3次元LAUシステムを解決するため。
2 X1 + X2 + X3 = 31 4、
5 X1 + X2 +×3 = 2 29、
3×1 - X2 + X3 = 10。

決断。 行列のi番目の行である - 我々は、Aiはラインによって、システムラインのマトリックスを書き留めます。
A1 =（1 2 4）、A2 =（5 1 2）、A3 =（3、-1、1）。
コラム無料係数b =（32 10月29日）。

メインシステムは決定デットあります
DET = A11 A22 A33 A12 A23 + A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - = -27 10。

A11 = B1、A21 = B2、A31 = B3使用DET1順列を算出します。 それから
DET1 = B1 A22、A33 + A12、A23、B3 + A31 B2 A32 - A13 A22 B3 - B1 A32 A23 - A33 B2 A12 = ... = -81。

A13 = B1、A23 = B2、A33 = B3 - 同様に、DET2使用置換A12 = B1、A22 = B2、A32 = B3、及び、それに応じて、DET3を算出するためにを計算します。
135 - そして、あなたはそのDET2 = -108、およびDET3 =を確認することができます。
式に従ってクラマーが見つけX1 = -81 /（ - 27）= 3、X2 = -108 /（ - 27）= 4、X3 = -135 /（ - 27）= 5。

回答：X°=（3,4,5）。

このルールの適用に依存する、線型方程式系を解くクレイマー方法は、パラメータkの値に応じてソリューションの可能な数のシステムを調査するために、例えば、間接的に使用することができます。

Y - - KX 4 | |どのパラメータk不等式の値に決定するために、実施例2 + | X + KY + 4 | <= 0は、厳密に1つの解を持ちます。

決断。
モジュール機能の定義によってこの不等式は、両方の式が同時にゼロである場合にのみ行うことができます。 したがって、この問題は、線形代数方程式の解を見つけることに還元されます

KX - 、Y = 4、
X + KY = -4。

それはの主な決定要因である場合にのみ、このシステムへの解決策
DET = K ^ {2} + 1が非ゼロです。 この条件は、パラメータkのすべての実数値に対して満足していることは明らかです。

回答：パラメータkのすべての実数値のために。

このタイプの目標もの分野で多くの実用的な問題を低減することができ 、数学、物理学や化学。