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振り子：式の期間と加速度
均一な重力場における無重力非伸張性フィラメントでハング材料点（体）からなる機械系は、（その質量は、本体の重量と比較して無視できる程度である）、（ - 発振器別の名前）の数学的振り子と呼ばれます。 他の種類のデバイスがあります。 代わりに、フィラメント無重力ロッドを使用することができます。 振り子は明らかに多くの興味深い現象の本質を明らかにすることができます。 その運動の小振幅振動が高調波と呼ばれているとき。
機械システムに関する一般情報
振り子は、（垂直に吊り下げ）平衡位置にある場合、 重力の力は、糸張力によってバランスされます。 非伸縮性糸に平坦振り子は、通信の2つの自由度を有するシステムです。 すべての部品の特性を変更するだけで一つのコンポーネントを変更する場合。 スレッドがロッドによって置換されている場合、例えば、この機械的システムは自由のわずか1度です。 何、それから、数学的な振り子の性質？ この単純なシステムでは、定期的な摂動の影響で、混乱が表示されます。 サスペンションポイントが移動し、振子を振動されない場合、新しい平衡位置があります。 急激な変動を上下した場合、この機械系は「逆さま。」安定位置となります また、その名前を持っています。 それはKapitza振り子と呼ばれています。
振り子の性質
•負荷の多様から吊り下げ振り子の同じ長さを維持しながら、それらの量は大きく変化するが、振動の周期は、同じ取得し、場合。 その結果、振り子の周期は、負荷の重さには依存しません。
システムは、振り子の低下を開始した場合•大きすぎるではありませんが、異なる角度は、それは同期間で変動するが、異なる振幅でます。 バランスの中心からずれがありませんが、その形であまりにも大きな変動は高調波十分に近くなります。 そのような振り子の周期は振動振幅に依存しません。 機械系のこの特性は、（ - 時間「Izosov」 - 同じギリシャ語の「クロノス」内）等時性と呼ばれています。
シンプルな振り子の期間
この図は、振動の固有周期を表しています。 複雑な処方にもかかわらず、プロセス自体は非常に簡単です。 糸数学的振り子L、及び重力加速度gの長さは、この値が等しい場合。
T =2π√L/ G
決して自然な振動の小期間は振り子の質量と振動振幅に依存しません。 この場合には、数学的な振り子が低下長さで移動します。
数学的な振り子の振動
単純な微分方程式によって記述することができる数学的な振り子振動します：
X +ω2罪のx = 0、
ここで、x（T） - 未知関数（時刻tでの平衡の下方位置から偏向のこの角度は、ラジアンで表されます）。 ω - 振り子（ω=√g/ L、のパラメータから決定される正の定数ここで、G - 重力の加速度、及びL - 単純な振り子（サスペンション）の長さ。
次のように平衡位置（高調波式）の近くに小さな振動を数式：
X +ω2罪のx = 0
振り子の振動運動
正弦波を動かし、小さな振動を作る振り子、。 二次微分方程式は、すべての要件、そのような動きのパラメータを満たしています。 あなたはスピードと後で独立した定数を決定した座標を設定する必要があるパスを決定するには：
X = SIN（θ+ωT0）、
ここで、θ0 -初期位相、A -振動の振幅、ω -運動方程式から決定繰り返し周波数。
振り子（大きな振幅に対する式）
この機械的システムは、大きな振幅で彼らの振動を行い、それがより複雑な交通法規に従うものとします。 それらは、振り子のための式に従って計算されます。
罪X / 2 =のu *のSN（ωT/ U）
ここで、SN - uは1周期関数であり、そして小さなuのための簡単な三角関数の正弦と一致<正弦ヤコビ、。 uの値は、次の式で決定されます。
U =（ε+ω2）/2ω2、
ここで、ε= E / ML2（ML2 - 振り子のエネルギー）。
下記式によって振り子の非線形振動周期の決意。
T =2π/Ω、
Ω=π/ 2 *ω/ 2K（U）、 K -楕円積分、π - 3,14。
セパラトリクスの振り子運動
これは、動的システム、二次元位相空間のセパラトリクス軌道と呼ばれます。 振り子は、非周期的に動きます。 時間の無限遠点では速度ゼロに向かって極端上方から降下し、それが徐々に増しています。 彼は最終的に元の位置に戻って、停止しました。
振り子の振動の振幅が数PIに近づく場合は、位相平面の動きがセパラトリクスに近いと言われています。 この場合には、機械系の小さな周期的な駆動力の作用下でカオス的挙動を示します。
角度CPで平衡位置からの単純な振り子の場合に接線力Fτ= -Mg罪φ重力を発生します。 「マイナス」記号は、接線成分は、振り子のずれの方向とは反対方向に向いていることを意味します。 半径Lの円弧に沿ってX振り子の変位を介して参照する場合、その角度変位φ= X / Lに等しいです。 第二法則 Isaaka Nyutona、 加速度ベクトルの射影と強度のために設計された所望の値を与えます。
MGτ=Fτ= -Mg罪X / L
この比率に基づいて、その平衡位置に戻ろう力が、罪X / L.、常に変位xに比例しないように振り子が、非線形システムであることは明らかです
数学的な振り子が小さな振動を行った場合にのみ、それが調和振動子です。 言い換えれば、それは調和振動を行うことが可能な機械的なシステムとなります。 ほとんど15〜20°の角度のためにこの近似は有効です。 大きな振幅を持つ振り子は調和のとれたではありません。
振り子の小さな振動のためのニュートンの法則
機械システムは、小さな振動を実行する場合、第二ニュートンの法則は次のようになります。
MGτ=Fτ= -m * G /のL * X。
これに基づき、我々は、単純な振り子の接線方向の加速度は記号「マイナス」との変位に比例していると結論することができます。 これは、システムが調和振動子となる条件です。 変位と加速度とモジュール比例係数は角周波数の二乗に等しいです。
ω02= G / L; ω0=√G / L.
この式は、振り子のこのタイプの小さな振動の固有振動数を反映しています。 これに基づき、
T =2π/ω0=2π√G / L.
エネルギー保存則に基づく計算
振り子の動きを発振するプロパティは、エネルギー保存則の助けを借りて説明することができます。 ことを心に留めておくべきであるのポテンシャルエネルギー重力場における振り子は、次のとおりです。
E =mgΔh= MGL（1 - COSα）= mgL2sin2α/ 2
完全な 機械的エネルギーが Epmax = Ekmsx = E：運動とポテンシャルを最大限に等しいです
あなたは、式の左側と右側の導関数を取る、エネルギー保存則を書いた後：
EP +エック=定数
定数の誘導体は0に等しいので、次に（EP + EK）の「= 0は、合計の誘導体は、誘導体の合計に等しいです。
EP '=（MG / L * X2 / 2）' = MG / 2L * 2X * X '= mg / Lの* V +とエク' =（MV2 / 2）= M / 2（V2）「= M / 2 * 2V * V「= MV *のα、
それゆえ：
mg / Lの*のXV + MVA = V（MG / L * X + m個のα）= 0。
最後の式に基づいて、我々は見つける：α= - G / Lの* xを。
数学的な振り子の実用化
加速自由落下のは、惑星の周りの地殻の密度が同一でないので、緯度に応じて変化します。 岩は、より高い密度で発生した場合、それがわずかに高くなります。 数学的な振り子の加速は、多くの場合、探査のために使用されています。 別の鉱物のヘルプを見に。 単純振り子の振動数をカウント、地球の腸に石炭や鉱石を検出することができます。 これは、これらのリソースが緩い岩の下に横たわっているよりも多くの密度と重量を持っているという事実によるものです。
ソクラテス、アリストテレス、プラトン、プルタルコス、アルキメデスのような著名な学者によって使用される数学的な振り子。 それらの多くは、機械的なシステムは運命と人生に影響を与える可能性があると信じていました。 アルキメデスは、彼の計算と数学的な振り子を使用しました。 今日では、多くのオカルトや占い師はその預言の実現のために、この機械系、または行方不明者の検索を使用しています。
有名なフランスの天文学者や科学者は、彼らの研究のためのフラマリオンはまた、数学的な振り子を使用しました。 彼は彼の助けを借りて、彼は新しい惑星の発見、ツングースカ隕石の出現、およびその他の重要なイベントを予測することができたと主張しました。 ドイツでは第二次世界大戦（ベルリン）の間、振り子の専門機関として働いていました。 今日では、このような研究は、超心理学のミュンヘン研究所は使用できません。 振り子と彼の作品「radiesteziey」と呼ばれるこの施設の職員。
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